В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки
(x j , f (x j )), где j = i -1; i -0.5; i , то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

Проведя интегрирование, получим:

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке
[a, b ] формула Симпсона примет вид

Графическое представление метода Симпсона показано на рис. 2.4.

Рис. 10.4. Метод Симпсона

Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:

Тогда формула Симпсона примет вид

Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:

где h·n = b - a , . Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O (h 4 ).

Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.

10.5. Вычисление определенных интегралов методами
Монте–Карло

Рассматриваемые ранее методы называются детерминированными , то есть лишенными элемента случайности.

Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла

При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [a, b ] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:

Здесь γ i - случайное число, равномерно распределенное на интервале
. Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.

На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).

(2.23)

Рис. 10.6. Интегрирование методом Монте-Карло (2-й случай)

Как видно на рис. 2.6, интегральная кривая лежит в единичном квадрате, и если мы сумеем получать пары случайных чисел, равномерно распределенных на интервале , то полученные значения (γ 1, γ 2) можно интерпретировать как координаты точки в единичном квадрате. Тогда, если этих пар чисел получено достаточно много, можно приблизительно считать, что
. Здесь S – число пар точек, попавших под кривую, а N – общее число пар чисел.

Пример 2.1. Вычислить следующий интеграл:

Поставленная задача была решена различными методами. Полученные результаты сведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Замечание. Выбор табличного интеграла позволил нам сравнить погрешность каждого метода и выяснить влияние числа разбиений на точность вычислений.

11 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен , где ξ∈(x 0 ,x 2) или

Назначение сервиса . Сервис предназначен для вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона в онлайн режиме.

Инструкция . Введите подынтегральную функцию f(x) , нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

Правила ввода функции

Примеры правильного написания F(x):
1) 10 x e 2x ≡ 10*x*exp(2*x)
2) x e -x +cos(3x) ≡ x*exp(-x)+cos(3*x)
3) x 3 -x 2 +3 ≡ x^3-x^2+3

Вывод формулы Симпсона

Из формулы
при n = 2 получаем

Т.к. x 2 -x 0 = 2h, то имеем . (10)
Это формула Симпсона . Геометрически это означает, что кривую y=f(x) мы заменяем параболой y=L 2 (x), проходящей через три точки: M 0 (x 0 ,y 0), M 1 (x 1 ,y 1), M 2 (x 2 ,y 2).

Остаточный член формулы Симпсона равен

Предположим, что y∈C (4) . Получим явное выражение для R . Фиксируя среднюю точку x 1 и рассматривая R=R(h) как функцию h, будем иметь:
.
Отсюда дифференцируя последовательно три раза по h , получим






Окончательно имеем
,
где ξ 3 ∈(x 1 -h,x 1 +h). Кроме того, имеем: R(0) = 0, R"(0)=0. R""(0)=0. Теперь, последовательно интегрируя R"""(h), используя теорему о среднем, получим


Таким образом, остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен
, где ξ∈(x 0 ,x 2). (11)
Следовательно, формула Симпсона является точной для полиномов не только второй, но и третьей степени.
Получим теперь формулу Симпсона для произвольного интервала [a ,b ]. Пусть n = 2m есть четное число узлов сетки {x i }, x i =a+i·h, i=0,...,n, и y i =f(x i). Применяя формулу Симпсона (10) к каждому удвоенному промежутку , ,..., длины 2h , будем иметь


Отсюда получаем общую формулу Симпсона
.(12)
Ошибка для каждого удвоенного промежутка (k=1,...,m) дается формулой (11).

Т.к. число удвоенных промежутков равно m , то

С учетом непрерывности y IV на [a ,b ], можно найти точку ε, такую, что .
Поэтому будем иметь
. (13)
Если задана предельно допустимая погрешность ε, то, обозначив , получим для определения шага h
.
На практике вычисление R по формуле (13) бывает затруднительным. В этом случае можно поступить следующим образом. Вычисляем интеграл I(h)=I 1 с шагом h , I(2h)=I 2 с шагом 2h и т.д. и вычисляем погрешность Δ:
Δ = |I k -I k-1 | ≤ ε. (14)
Если неравенство (14) выполняется (ε - заданная погрешность), то за оценку интеграла берут I k = I(k·h).
Замечание. Если сетка неравномерная, то формула Симпсона приобретает следующий вид (получить самостоятельно)
.
Пусть число узлов n = 2m (четное). Тогда

где h i =x i -x i-1 .

Пример №1 . С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл , приняв n = 10.
Решение: Имеем 2m = 10. Отсюда . Результаты вычислений даны в таблице:

i	x i	y 2i-1	y 2i
0	0		y 0 = 1.00000
1	0.1	0.90909
2	0.2		0.83333
3	0.3	0.76923
4	0.4		0.71429
5	0.5	0.66667
6	0.6		0.62500
7	0.7	0.58824
8	0.8		0.55556
9	0.9	0.52632
10	1.0		y n =0.50000
∑		σ 1	σ 2

По формуле (12) получим .
Рассчитаем погрешность R=R 2 . Т.к. , то .
Отсюда max|y IV |=24 при 0≤x≤1 и, следовательно . Таким образом, I = 0.69315 ± 0.00001.

Пример №2 . В задачах вычислить определенный интеграл приближенно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.

При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.

Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.

Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

Задана функция вида y = f (x) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f (x) d x

Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b - a n и точками a = x 0 < x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Каждый интервал x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Поэтому метод и имеет такое название.

Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол.Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

При помощи красной линии изображается график функции y = f (x) , синей – приближение графика y = f (x) при помощи квадратичных парабол.

Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Пусть x 2 i - 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изобразим, что через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

Имеем, что x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

a i (x 2 i - 2) 2 + b i · x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i · x 2 i - 1 + c i = f (x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i · x 2 i + c i = f (x 2 i)

Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить только одна парабола.

Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x .

Видно, что

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i · h 2 + b i · h + c i f (x 2 i) = f (0) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i

Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Определение 1

Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

• при приближенном вычислении определенного интеграла;
• при нахождении приближенного значения с точностью δ n .

На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.

Пример 1

Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение

По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f (x) = x x 4 + 4 .

Тогда запишем формулу Симпсона в виде

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b - a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5

Найдем значение функции в точках

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

i	0	1	2	3	4	5
x i	0	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

i	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Ответ: Результаты совпадают до сотых.

Пример 2

Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .

Решение

По условию имеем, что а = 0 , b = π , f (x) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " (x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Область определения f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу - 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Производим подстановку:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .

Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

h = b - a 2 n = π - 0 2 · 5 = π 10

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0 . 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .

При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Замечание

В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f (4) (x) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Отрезок интегрирования разобьем на четное число элементарных отрезков равной длины точкамис шагом
(
). На каждом отрезке
подынтегральную функцию аппроксимируем многочленом второй степени, которая на этом отрезке имеет вид
. Заметим, чтоi принимает здесь только нечетные значения от 1 до
. Таким образом, подынтегральная функция аппроксимируется совокупностью квадратных многочленов или сплайном второй степени.

Вычислим произвольный интеграл из правой части.

Коэффициенты ,имогут быть найдены из условия интерполяции, то есть из уравнений

,

Заметим, что точка является серединой отрезка
, следовательно
. Подставим это выражение во второе уравнение интерполяции:

.

Умножим это уравнение на 4 и сложим с остальными:

Последнее выражение в точности совпадает с выражением, стоящим в квадратных скобках формулы (5.1). Следовательно,

А значит,

Таким образом, формула Симпсона имеет вид:

Оценка погрешности квадратурных формул.

Оценим погрешность при использования метода средних прямоугольников в предположении, что функция
бесконечно дифференцируема.

Разложим подынтегральную функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки,
.

Последний ряд содержит лишь нечетные степени x . Тогда

При малой величине шага h основной вклад в погрешность R будет вносить величина
, называемая главным членом погрешностиR .

Применим метод средних прямоугольников к функции
на отрезке
с шагомh . Тогда

.

Итак,
, где
– постоянная величина. Погрешность в приближенном равенстве
есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению спри
.

Степень шага h , которой пропорционален остаток R , называется порядком точности метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок точности.

Оценим погрешность при использовании метода трапеций также в предположении, что функция
бесконечно дифференцируема.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки (
).

Главный член погрешности R :

.

Применяя метод левых прямоугольников к функции
на отрезке
с шагомh , получаем

.

Итак, метод трапеций также имеет второй порядок точности.

Аналогично можно показать, что методы левых и правых прямоугольников имеют первый, метод Симпсона – четвертый порядок точности.

Лекция 17.

«Правило Рунге практической оценки погрешности.

Понятие об адаптивных алгоритмах.

Особые случаи численного интегрирования.

Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов.»

Правило Рунге практической оценки погрешности.

Пусть некоторый метод интегрирования имеет порядок точности k , то есть
, где– погрешность,A – коэффициент, зависящий от метода интегрирования и подынтегральной функции, h – шаг разбиения. Тогда

а при шаге

,

Выведенная формула называется первой формулой Рунге. Она имеет большое практическое значение. Если нужно вычислить интеграл с точностью  , то мы должны вычислять приближенные значения интеграла, удваивая число элементарных отрезков, пока не добьемся выполнения неравенства

Тогда, пренебрегая бесконечно малыми величинами, можно считать, что

Если мы хотим получить более точное значение искомого интеграла, то за уточненное значение J мы можем принять вместо
сумму

.

Это вторая формула Рунге. К сожалению, погрешность этого уточненного значения остается неопределенной, но обычно она на порядок выше, чем точность первоначального метода (когда за значение J мы принимаем
).

Для примера рассмотрим метод трапеций. Как было показано выше, порядок точности k этого метода равен 2.

где
. По второй формуле Рунге

где
есть приближенное значение интеграла найденное методом Симпсона с шагом. Так как порядок этого метода равен 4, то в данном примере применение второй формулы Рунге увеличило порядок точности на 2.

Метод парабол (Симпсона)

Суть метода, формула, оценка погрешности.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и нам требуется вычислить определенный интеграл.

Разобьем отрезок на n элементарных

отрезков [;], i = 1., n длины 2*h = (b-a)/ n точками

a = < < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

На каждом интервале [;], i = 1,2., n подынтегральная функция

приближается квадратичной параболой y = a* + b*x + c, проходящей через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()). Отсюда и название метода - метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять, который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол .

Вывод Формулы Симпсона.

Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить

Покажем, что через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит только одна квадратичная парабола y = a* + b*x + c. Другими словами, докажем, что коэффициенты, определяются единственным образом.

Так как (; f ()), (; f ()), (; f ()) - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы

Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных, . Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда, а он отличен от нуля для несовпадающих точек,. Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье решение систем линейных алгебраических уравнений), то есть, коэффициенты, определяются единственным образом, и через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит единственная квадратичная парабола.

Перейдем к нахождению интеграла.

Очевидно:

f () = f(0) = + + =

f () = f(h) = + +

f () = f (2*h) = + +

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:

= = (++) = h/3*(f ()+4*f ()+f ())

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:

Пример метода Симпсона.

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Интеграл, кстати, не берущийся.

Решение: Сразу обращаю внимание на тип задания - необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью . Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков, чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Правда, придётся находить четвертую производную и решать экстремальную задачу. На практике практически всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.

Начинаю решать. Если у нас два отрезка разбиения, то узлов будет на один больше : , . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования a = = 1.2, а затем последовательно приплюсовываем шаг h = 0.4.

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если = 1.6, то. Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Оцениваем погрешность:

Погрешность больше требуемой точности: 0,002165 > 0,001, поэтому необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

Формула Симпсона становится больше:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Заметим, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка:

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности: 0,000247 < 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.