Классическое определение

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Свойства и признаки

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны
• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Аналитическое определение

параллельны, то нормальные векторы и коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

Есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения.

Пример 1

Плоскости и параллельны, так как

Пример 2

Плоскости и непараллельны так как , а
Замечание . Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
то плоскости совпадают. Так уравнения и представляют одну и ту же плоскость.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Параллельность плоскостей" в других словарях:

Отношение между прямыми. Определяется немного по разному в различных разделах геометрии. Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства … Википедия

1) равное отстояние: такое положение линий или плоскостей, при котором они отстоят во всех точках одинако одна от другой. 2) сходство, напр. некоторых отдельных мест в Св. Писании. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.… …

Параллельность осей вращения шпинделей - 2.6. Параллельность осей вращения шпинделей Допуск на расстоянии L = 150 мм 25 мкм. Параллельность осей вращения шпинделей рассчитывают по результатам измерения перпендикулярности (параллельности) шпинделей относительно измерительной базы по пп.… …

Параллельность линии центров делительной головки направляющим хобота в вертикальной и горизонтальной плоскостях - 3.3.4. Параллельность линии центров делительной головки направляющим хобота в вертикальной и горизонтальной плоскостях Черт. 44 Допуск, мкм, для станков с конусом шпинделя Морзе до 5 на длине L = 150 мм для головок классов точности: П … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Параллельность направляющих хобота оси вращения шпинделя в вертикальной и горизонтальной плоскостях - 1.15. Параллельность направляющих хобота оси вращения шпинделя в вертикальной и горизонтальной плоскостях Черт. 17 Допуск, мкм, на длине перемещения L = 150 мм для станков классов точности: П........................................ 12 В … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 26016-83: Станки фрезерные широкоуниверсальные инструментальные. Нормы точности - Терминология ГОСТ 26016 83: Станки фрезерные широкоуниверсальные инструментальные. Нормы точности оригинал документа: 1.8. Взаимная перпендикулярность продольного перемещения вертикального стола направлению перемещения шпиндельной бабки Черт. 9… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N мерная… … Википедия

ГОСТ 2110-93: Станки расточные горизонтальные с крестовым столом. Нормы точности - Терминология ГОСТ 2110 93: Станки расточные горизонтальные с крестовым столом. Нормы точности оригинал документа: 4.18 Круглость: а) отверстия d1; б) поверхности 5 … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 30027-93: Модули гибкие производственные и станки многоцелевые сверлильно-фрезерно-расточные. Нормы точности - Терминология ГОСТ 30027 93: Модули гибкие производственные и станки многоцелевые сверлильно фрезерно расточные. Нормы точности оригинал документа: 4.10 Круглость: а) отверстия d1; б) поверхности 5 … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

1) сравнительное сопоставление каких либо предметов или вопросов; 2) то же, что параллельность, см. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ПАРАЛЛЕЛИЗМ Сравнит, сопоставление каких… … Словарь иностранных слов русского языка

Книги

• Математика. 10-11 классы. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Учебник. ФГОС , Бутузов Валентин Федорович , Прасолов Виктор Васильевич , Линия УМК`Бутузов В. Ф. (10-11 классы)`Учебник написан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования и предназначен как для базового,… Категория: Учебники для школьников Серия: МГУ - школе Издатель: Просвещение , Производитель:

В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: ∥ . Если заданы две плоскости: α и β , являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α ‖ β .

На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α .

Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности

В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

Теорема 1

Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за 10 - 11 класс.

В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.

Теорема 2

Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.

Теорема 3

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α и β , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а также задана плоскость β , которую определяет общее уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Теорема 4

Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имела решения (являлась несовместной).

Доказательство

Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Пример 1

Заданы две плоскости: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Необходимо определить, являются ли они параллельными.

Решение

Запишем систему уравнений из заданных условий:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.

Ранг матрицы 2 3 1 2 3 1 1 3 равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 равен двум, поскольку минор 2 1 2 3 - 4 отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.

Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 являются параллельными.

Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.

Ответ: заданные плоскости параллельны.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.

Теорема 5

Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.

Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.

Допустим, что n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) являются нормальными векторами плоскостей α и β соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2 , где t – некое действительное число.

Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости α и β с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число t , для которого верно равенство:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2

Пример 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости α и β . Плоскость α проходит через точки: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Плоскость β описывается уравнением x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.

Решение

Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки A не соответствуют уравнению плоскости β .

Следующим шагом определим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → , соответствующие плоскостям α и β . Также проверим условие коллинеарности этих векторов.

Вектор n 1 → можно задать, взяв векторное произведение векторов A B → и A C → . Их координаты соответственно: (- 3 , 0 , 1) и (- 2 , 2 , - 2) . Тогда:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

Для получения координат нормального вектора плоскости x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

Таким образом: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) и n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Так как - 1 = t · 1 12 - 8 = t · 2 3 - 3 = t · 1 4 ⇔ t = - 12 , то векторы n 1 → и n 2 → связаны равенством n 1 → = - 12 · n 2 → , т.е. являются коллинеарными.

Ответ : плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Ðассматривается отношение параллельности плоскостей, его свойства и применения.

Наглядное представление о расположении двух

Плоскостей дает моделирование с помощью плоскостей поверхностей смежных стен, потолка и пола комнаты, двухъярусных кроватей, двух скрепленных листов бу-

маги и т. п. (рис. 242–244).

Хотя существует бесконечное множество вариантов взаимного расположения различных плоскостей, для установления и характеристики которых в последующем будут применены измерения углов и расстояний, мы сначала остановимся на таких, где в основу классификации (как и прямых с плоскостями) положено количество их общих точек.

1. Две плоскости имеют не менее трёх общих точек, не лежащих на одной прямой. Такие плоскости совпадают (аксиома С 2 , §7).

2. Общие точки двух плоскостей расположены на одной прямой, являющейся линией пересеченияэтихплоскостей(аксиомаС 3 ,§7). Такие плоскости пересекаются.

3. Две плоскости не имеют общих точек.

В этом случае их называют параллельны-

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность плоскостей обозначается знаком ||: α || β.

Как всегда, при введении геометрических понятий возника-

ет проблема их существования. Существование пересекающих-

ся плоскостей является характерным признаком пространства,

и этим мы уже многократно пользовались. Менее очевидным яв-

ляется существование параллельных плоскостей. Нет никакого

сомнения в том, что, например, плоскости противоположных гра-

ней куба параллельны, то есть не пересекаются. Но непосредс-

твенно, по определению, это установить невозможно. Для реше-

ния поставленного вопроса, а также других вопросов, связанных с

параллельностью плоскостей, необходимо иметь признак параллельности.

Для поиска признака целесообразно рассматривать плоскость,

«сотканную» из прямых. Очевидно, что каждая прямая одной из

параллельных плоскостей должна быть параллельна другой.

В противном случае плоскости будут иметь общую точку. Доста-

точно ли параллельности плоскости β одной прямой плоскости α

для того, чтобы плоскости α и β были параллельными? Безуслов-

но, нет (обоснуйте это!). Практический опыт свидетельствует, что

двух таких пересекающихся прямых достаточно. Чтобы закрепить

на мачте параллельную земле площадку, достаточно положить ее

сти параллельны второй плоскости, то эти плоскости параллельны.

 Пусть пересекающиеся прямые а и b плоскости α параллельны плоскости β. Докажем, что плоскости α и β параллельны методом от противного. Для этого допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой

т (рис. 246). Прямые а и b пересекать прямую т не могут по условию. Однако тогда в плоскости α через одну точку проведены две прямые, не пересекающиеся с прямой т, то есть параллельные ей. Это противоречие

и завершает доказательство теоремы.

Признаком параллельности плоскостей пользуются при горизонтальном размещении плоских конструкций (бетонных плит, пола, диска угломерных приборов и т. п.) с помощью двух уровней, размещенных в плоскости конструкции на пересекающихся прямых. На основании этого признака можно выполнить построение плоскости, параллельной данной.

Задача 1. Через точку, лежащую вне данной плоскости, провести плоскость, параллельную данной.

 Пусть даны плоскость β и точка М вне плоскости (рис. 247, а). Проведем через точку М две пересекающиеся прямые а и b , параллельные плоскости β. Для этого нужно взять в плоскости β две пересекающиеся прямые с и d (рис. 247, б). Потом через точку М провести прямые а и b , параллельные прямым с и d соответствен-

но (рис. 247, в).

Пересекающиеся прямые а и b параллельны плоскости β, по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11). Они определяют однозначно плоскость α. Согласно доказанному признаку, α || β.

Пример 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точки М , N , Р – середины ребер ВС , В 1 С 1 , А 1 D 1 соответственно. Установить взаимное расположение плоскостей: 1) АВВ 1 и PNM ; 2) NMA и A 1 C 1 C ; 3) A 1 NM

и РC 1 C ; 4) МAD 1 и DB 1 C.

 1) Плоскости ABB 1 и РNM (рис. 248) параллельны, по признаку параллельности плоскостей (теорема 1). Действительно, прямые РN и NM пересекаются и параллельны плоскости ABB 1 , по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11), ведь отрезки РN и NM соединяют середины противоположных сторон квадратов, поэтому они параллельны сторонам квадратов:

РN || A 1 B 1 , NM || В 1 B.

2) Плоскости NMA и A 1 C 1 C пересекаются по прямой AA 1 (рис. 249). Действительно, прямые AA 1 и СC 1 параллельны, по признаку параллельности прямых (AA 1 || ВB 1 , ВB 1 || СC 1 ). Поэтому прямая AA 1 лежит в плоскости A 1 C 1 C . Аналогично обосновывается принадлежность прямой AA 1 плоскости NMA .

3) Плоскости A 1 NM и РC 1 C (рис. 250) параллельны, по признаку параллельности плоскостей. Действительно, NM || С 1 C . Поэтому прямая NM параллельна плоскости РC 1 C. Отрезки РC 1 и A 1 N также параллельны, поскольку четырехугольник РC 1 NA 1 – параллелограмм (А 1 P || NC 1 , A 1 P = NC 1 ). Таким образом, прямая A 1 N параллельна плоскости РC 1 C. Прямые A 1 N и NM пересекаются.

4) Плоскости MAD 1 и DB 1 C пересекаются (рис. 251). Хотя линию их пересечения построить непросто, но указать одну точку этой линии нетрудно. Действительно, прямые A 1 D и В 1 C - параллельны, поскольку четырехугольник A 1 B 1 CD – параллелограмм (A 1 B 1 = AВ = СD , A 1 B 1 || AВ , AВ || СD ). Поэтому прямая A 1 D принадлежит плоскости DB 1 C. Прямые A 1 D и AD 1 пересекаются в точке, общей для плоскостей MAD 1 , и DB 1 C.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пользуясь признаком параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11), нетрудно установить, что из условия теоремы 1′ вытекает условие теоремы 1. Применение теоремы, обратной признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 2 §11) завершает обоснование эквивалентности условий теорем 1 и 1′.

Естественно возникает вопрос об однозначности приведенного в задаче 1 построения. Поскольку нам придется не раз воспользоваться этим свойством, то выделим его как отдельную теорему. Однако сначала рассмотрим другое утверждение.

Теорема 2 (о пересечении двух параллельных плоскостей третьей).

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

 Пусть даны параллельные плоскости α, β и плоскость γ, их пересекающая (рис. 252). Обозначим линии пересечения

через а и b. Эти прямые лежат в плоскости γ и не пересекаются, поскольку плоскости α и β не имеют общих точек. Поэтому пря-

мые а и b - параллельны.

Теорема 3 (о существовании и единственности плоскости, параллельной данной).

Через точку, расположенную вне данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

 Построение такой плоскости выполнено в задаче 1. Однозначность построения докажем методом от противного. Допустим, что через точку М проведены две различные плоскости α и γ, па-

раллельные плоскости β (рис. 253), и прямая т - линия их пересечения. Проведем через точку М плоскость δ, пересекающуюся с прямой

т и плоскостью β (как это можно сделать?). Обозначим через а и b

линии пересечения плоскости δ с плоскостями α и γ, а через с - линию пересечения плоскостей δ и β (рис. 253). Согласно теореме 2, а || с

и b || с. То есть в плоскости δ через

точку М проходят две прямые, параллельные прямой с. Противоречие свидетельствует о неверности предположения.

Отношение параллельности плоскостей обладает рядом свойств, имеющих аналоги в планиметрии.

Теорема 4 (об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями).

Отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

 Пусть даны две параллельные плоскости α и β и отрезки АВ

и СD параллельных прямых a и d , отсекаемые этими плоскостями (рис. 254, а). Проведем через прямые a и d плоскость γ (рис. 254, б). Она пересекает плоскости α и β по прямым АС и BD, которые, согласно теореме 2, параллельны. Поэтому четырехугольник АBСD - параллелограмм, его противоположные стороны АС и BD равны.

Из приведенного свойства вытекает, что если от всех точек плоскости отложить

по одну сторону от плоскости параллельные отрезки одинаковой длины, то концы этих отрезков образуют две параллельные плоскости. Именно на этом свойстве основано построение параллелепипеда с помощью отложения отрезков (рис. 255).

Теорема 5 (о транзитивности отношения параллельности плоскостей).

Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей, то данные две плоскости параллельны между собой.

 Пусть плоскости α и β параллельны плоскости γ. Допустим, что

α и β не параллельны. Тогда плоскости α и β имеют общую точку, и через эту точку проходят две различные плоскости, параллельные плоскости γ, что противоречит теореме 3. Поэтому плоскости α и β не имеют общих точек, то есть они параллельны.

Теорема 5 является еще одним признаком параллельности плоскостей. Она широко применяется как в геометрии, так и в практической деятельности. Например, в многоэтажном здании параллельность плоскостей пола и потолка на каждом этаже гарантирует их параллельность и на разных этажах.

Задача 2. Доказать, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости α.

 Пусть плоскости α и β параллельны, а прямая а пересекает плоскость α в точке А . Докажем, что она пересекает и плоскость

β. Допустим, что это не так. Тогда прямая а параллельна плоскости β. Проведем плоскость γ через прямую а и произвольную точку плоскости β (рис. 256).

Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по прямым b и с . Со-

гласно теореме 2, b || с, то есть в плоскости γ через точку А проходят две прямые а и b, параллельные прямой с . Это противоречие и доказывает утверждение.

Попробуйте доказать самостоятельно, что если плоскость α пересекает плоскость β, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости β.

Пример 2. В тетраэдре АBCD точки K , F, Е - середины ребер DA, DС, DВ, а М и Р - центры масс граней АВD и ВСD соответственно.

1) Установить взаимное расположение плоскостей KEF и ABC ;

DEF и ABC.

2) Построить линию пересечения плоскостей AFB и KEC.

3) Найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, параллельной плоскости АВD и проходящей через точку Р , если все рёбра тетраэдра равны а.

 Построим рисунок, соответствующий условию (рис. 257, а). 1) Плоскости KEF и ABC параллельны, по признаку параллельности плоскостей (теорема 1’): пересекающиеся прямые KE и KF плоскости KEF параллельны пересекающимся прямым AB и AC плоскости ABC (на них лежат средние линии соответствую-

щих треугольников).

Плоскости DEF и ABC пересекаются по прямой BC , так как прямая BC принадлежит обеим плоскостям, а совпадать они не могут - точки А , В , С , D не лежат в одной плоскости.

2) Плоскость AFB пересекается с плоскостью KEC по прямой, содержащей точку Р , так как прямые СЕ и BF , лежащие в этих плоскостях, находятся в плоскости BCD и пересекаются в точке Р . Другой точкой является точка пересечения Q прямых AF и CK в плоскости ACD (рис. 257, б). Очевидно, что эта точка является центром масс грани ACD. Искомым пересечением является прямая PQ.

3) Построим сечение, указанное в условии, пользуясь признаком параллельности плоскостей. Проведем через точки P и Q прямые, параллельные прямым DB и DA соответственно (рис. 257, в). Эти прямые пересекают отрезок CD в точке L. Последнее вытекает из свойства центра масс треугольника - он делит медианы треугольника в отношении 2: 1, считая от вершины. Осталось применить теорему Фалеса. Таким образом, плоскости PLQ и BDA параллельны. Искомым сечением является треугольник LSN.

По построению, треугольники BCD и SCL подобны с коэффициентом подобия CE CP = 3 2 . Поэтому LS = 3 2 BD . Аналогично уста-

навливаются равенства: LN = 3 2 AD , NS = 3 2 AB . Отсюда вытекает, что треугольники LSN и ABD подобны с коэффициентом подобия 3 2 . По свойствам площадей подобных треугольников,

S LNS = 4 9 S ABD . Осталось найти площадь треугольника ABD. По-

скольку, по условию, все рёбра тетраэдра равны а , то S ABD = 4 3 a 2 .

Искомая площадь равна 3 1 3 a 2 .

Уместно обратить внимание на то, что ответ зависит лишь от площади грани ABD. Поэтому равенство всех рёбер является лишь средством найти эту площадь. Таким образом, данную задачу можно существенно обобщить.

Ответ. 1) KEF || ABC ; 3) 3 1 3 a 2 .

 Контрольные вопросы

1. Верно ли, что две плоскости параллельны, если каждая прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

2. Плоскости α и β параллельны. Существуют ли скрещивающиеся прямые, лежащие в этих плоскостях?

3. Две стороны треугольника параллельны некоторой плоскости. Параллельна ли этой плоскости третья сторона треугольника?

4. Две стороны параллелограмма параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что плоскость параллелограмма параллельна данной плоскости?

5. Могут ли быть неравными отрезки двух прямых, отсекаемые параллельными плоскостями?

6. Может ли сечением куба быть равнобокая трапеция? Может ли сечением куба быть правильный пятиугольник? Верно ли, что две плоскости, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой?

Линии пересечения плоскостей α и β плоскостью γ параллельны между собой. Параллельны ли плоскости α и β?

Могут ли три грани куба быть параллельными одной плоскости?

Графические упражнения

1. На рис.258 изображен куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точки М , N , K , L , Р - середины соответствующих рёбер. Заполните по приведенному образцу таблицу, выбрав необходимое расположение плоскостей α и β.

Взаимное

расположение

α || β α = β

α × β α || β α = β

2. На рис. 259 изображен тетраэдр ABCD, точки K , F, M , N , Q - середины соответствующих рёбер. Укажите:

1) плоскость, проходящую через точку K параллельно плоскости ABC;

2) плоскость, проходящую через прямую BD параллельно плоскости MNQ.

3. Определите, чем является сечение фигуры плоскостью, проходящей через данные три точки, изображенные на рисун-

ках 260, а)–д) и 261, а)–г).

4. Постройте рисунок по приведенным данным.

1) Из вершин параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

2) Треугольник A 1 B 1 C 1 является проекцией треугольника ABC на параллельную ему плоскость α. Точка М - середина ВС , М 1 - проекция точки М на плоскость α.

207. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки О , О 1 - центры граней ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 соответственно, М - середина ребра АВ .

1°) Определите взаимное расположение плоскостей МО 1 О

и ADD 1 , ABD 1 и СО 1 С 1 .

2°) Постройте точку пересечения плоскости DCC 1 и прямой МО 1 и линию пересечения плоскостей МСС 1 и A 1 D 1 C 1 .

3) Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости AD 1 C 1 и проходящей через точку О 1 , если ребро куба равно а.

208. В тетраэдре ABCD точки K , L , Р - центры масс граней ABD , BDC , ABC соответственно, а М - середина ребра AD .

1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACD

и KLP ; МLK и ABC .

2°) Постройте точку пересечения плоскости ABC и прямой МL и линию пересечения плоскостей МKL и ABC.

3) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , L и М параллельно прямой AD, если все рёбра тетраэдра равны а.

209. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки L, M, M 1 - середины рёбер AB, AD и A 1 D 1 соответственно.

1°) Определите взаимное расположение плоскостей B 1 D 1 D

и LMM1 .

2) Постройте плоскость, проходящую через точку М параллельно плоскости ACC 1 .

3) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку M 1 параллельно плоскости CDD 1 .

4) Определите взаимное расположение плоскостей МА 1 В 1

и CDМ1 .

5) Постройте плоскость, проходящую через прямую C 1 D 1 параллельно плоскости CDM 1 .

210. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все рёбра равны между собой. Точки L , M и N - середины рёбер AS , BS , CS соответственно.

1°) Определите взаимное расположение: прямых LM и BC ; прямой LN и плоскости ABD; плоскостей LMN и BDC .

2°) Докажите, что треугольники ABC и LMN подобны.

3) Постройте сечение пирамиды плоскостью AMN ; плоскостью LMN; плоскостью LBC .

4*) Какое из сечений пирамиды, проходящих через вершину S , имеет наибольшую площадь?

Параллельность прямых и плоскостей

В тетраэдре SABC все грани - правильные треугольники. Точки L, M и N - середины рёбер AS, BS, CS соответственно. 1°) Определите взаимное расположение прямых LM и ВС. 2°) Определите взаимное расположение прямой LN и плоскости АВС.

3) Докажите, что треугольники LMN и AВС подобны.

Постройте сечение куба, являющееся: 1°) равносторонним треугольником; 2) пятиугольником.

217. Постройте сечение тетраэдра, являющееся параллелограммом.

218°. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны.

219. Докажите, что множество всех прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной плоскости, образует плоскость, параллельную данной.

220. Даны четыре точки A , B , C , D , не лежащие в одной плоскости. Докажите, что каждая плоскость, параллельная прямым AB и CD, пересекает прямые AC, AD, BD, BC в вершинах параллелограмма.

221. Докажите, что плоскость и прямая, не принадлежащая этой плоскости, параллельны между собой, если обе они параллельны одной и той же плоскости.

222. Через точку О пересечения диагоналей куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведена плоскость параллельно грани ABCD. Эта плоскость пересекает рёбра BB 1 и CC 1 в точках M и N соответственно. Докажите, что угол MON - прямой.

223. Докажите, что две плоскости параллельны между собой тогда и только тогда, когда каждая прямая, пересекающая одну из плоскостей, пересекает и вторую.

224*. В треугольной пирамиде SABC через отрезки AD и CE, где D - середина SB, а E - середина SA , проведите сечения пирамиды, параллельные между собой.

225. Найдите геометрические места:

1) середин всех отрезков с концами на двух данных параллельных плоскостях; 2*) середин отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых.

226*. Сторона АВ треугольника АВС , лежащего в плоскости α, параллельна плоскости β. Равносторонний треугольник А 1 В 1 С 1 является параллельной проекцией треугольника АВС на плоскость β; АВ = 5, ВС = 6, АС = 9.

1) Установите взаимное расположение прямых АВ и А 1 В 1 ,

ВС и В1 С1 , А1 С1 и AC.

2) Найдите площадь треугольника А 1 В 1 С 1 .

227*. Даны две скрещивающиеся прямые. Укажите множество всех точек пространства, через которые можно провести прямую, пересекающую каждую из двух данных прямых.

Основное определение

Две плоскости называ-

ются параллельными,

если они не имеют общих точек.

Основные утверждения

Признак парал- Если две пересекаю- лельности двух щиеся прямые одной плоскостей плоскости соответственно параллельны двум прямым второй плоскости, то эти плос-

кости параллельны.

Теорема о пе- Если две параллель- ресечении двух ные плоскости пе- параллельных ресекаются третьей плоскостей плоскостью, то линии третьей пересечения плоскос-

тей параллельны.

a α,b α,a ×b ,c β, d β, a || c , b || d α || β

α || β, a = γ∩α, b = γ∩β a || b

M α

β: α || β, М β

Готовимся к тематичес-

кому оцениванию по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Задания для самоконтроля

1. Четыре точки не принадлежат одной плоскости. Могут ли некоторые три из них лежать на одной прямой?

2. Могутлитриразличныеплоскостииметьровнодвеобщиеточки?

3. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть одновременно параллельными третьей прямой?

4. Верно ли, что прямые а и b не параллельны, если не существует прямой с , параллельной а и b ?

5. Могут ли равные отрезки иметь неравные проекции?

6. Может ли луч быть параллельной проекцией прямой?

7. Может ли квадрат быть изображением куба?

8. Верно ли, что через данную точку пространства можно провести только одну плоскость, параллельную данной прямой?

9. Всегда ли через данную точку можно провести прямую, параллельную двум данным плоскостям, не содержащим эту точку?

10. Можно ли через две скрещивающиеся прямые провести параллельные плоскости?

Ответы к заданиям для самоконтрол я

Образец контрольной работы

Два параллелограмма АBCD и АBC 1 D 1 лежат в различных плоскостях.

1°) Определите взаимное расположение прямых CD и C 1 D 1 .

2°) Определите взаимное расположение прямой C 1 D 1 и плоскости

3°) Постройте линию пересечения плоскостей DD 1 С 1 и ВСС 1 .

4°)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостейАDD 1 иВCC 1 .

5) Через точку М , делящую отрезок АВ в отношении 2:1, считая от точки А , проведите плоскость α, параллельную плоскости С 1 ВС. 6) Постройте точку пересечения прямой АС с плоскостью α и найдите отношение, в котором эта точка делит отрезок АС.

Взаимноерасположениепрямыхиплоскостейвпространстве

Тригонометрические

С тригонометрическими функциями вы уже имели дело на уроках гео­ метрии. До сих пор их приложения, в основном, ограничивались решени­ ем треугольников, то есть речь шла о нахождении одних элементов тре­ угольника по другим. Из истории математики известно, что возникновение тригонометрии связано с измерением длин и углов. Однако, теперь сфера

ее приложений намного шире, чем в древности.

Слово «тригонометрия» происходит от греческих τριγωνον

(trigonon) – треугольник и µετρεω (metreo) - меряю, изме-

ряю. Буквально оно означает измерение треугольников.

В этой главе систематизируется материал, уже известный вам из кур­ са геометрии, продолжается изучение тригонометрических функций и их приложений для характеристики периодических процессов, в частности, вращательного движения, колебательных процессов и т. п.

Большинство применений тригонометрии касаются именно перио­ дических процессов, то есть процессов, повторяющихся через равные промежутки времени. Восход и закат Солнца, изменения времен года, вращения колеса - это простейшие примеры таких процессов. Меха­ нические и электромагнитные колебания являются также важными при­ мерами периодических процессов. Поэтому исследование периодических процессов - важное задание. И роль математики в его решении является определяющей.

готовимся к изучению темы «Тригонометрические функции»

Изучение темы «Тригонометрические функции» целесообразно начать с повторения определений и свойств тригонометрических функций углов треугольников и их применений для решения как прямоугольных, так и произвольных треугольников.

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов прямоугольного

треугольника

Таблица 24

Синусом острого угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin α = a c .

Косинусом острого угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cosα = b c .

Тангенсом острого угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg α = a b .

Котангенсом острого угла называют отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctgα = a b .

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов от 0° до 180°

Таблица 25

sin α = R y ; cosα = R x ;

tg α = x y ; ctg α = x y .

(х ; у ) - координаты точки А , расположенной на верхней полуокружности, α - угол, образованный радиусом ОА окружности с осью х .

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса

некоторых углов

Таблица 26

Угол t

Решение произвольных треугольников

Таблица 27

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов:

sina α = sinb β = sinc γ .

Теорема косинусов

Квадрат произвольной стороны треугольника равен суммеквадратовдвухдругихсторонбезудвоенногопроизведения этих сторон на косинус угла между ними:

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ , b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cosβ , a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cosα .

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними:

S = 1 2 ab sin γ = 1 2 ac sin β = 1 2 bc sin α .

Основные тригонометрические тождества

5. Сравните сумму синусов острых углов произвольного прямоугольного треугольника (обозначим ее через А ) с единицей.

< 1. Б. А = 1.

> 1. Г. Сравнить невозможно. Расположите по возрастанию числа: а = sin 30°, b = cos 30°,

= tg 30°.

< b < c . Б. a < c < b . В. c < a < b . Г. b < a < c .

Сравните без вычислительных средств острые углы α и β,7.

15. Укажите координаты точки А , лежащей на окружности радиуса 1 (см. рис.).

(−1; 0). Б. (1; 0).

(0; − 1). Г. (0; 1).А. В.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Введем понятие параллельных плоскостей

Согласно аксиоме A3, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Отсюда следует, что плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точку.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если плоскости параллельны, пишут: .

Теорема (признак параллельности плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Рассмотрим две плоскости: .

В плоскости лежат пересекающиеся прямые a1 и b1, а в плоскости параллельные им пересекающиеся прямые a2и b2.

Докажем, что.

Доказательство. Рассуждаем методом от противного.

Предположим, что плоскости не параллельны. Тогда существует прямая c, по некоторой они пересекаются.

Так как прямая a1 параллельна прямой a2 , лежащей в плоскости, то прямая a1 параллельна плоскости.

Аналогично, прямая b1 параллельна плоскоcти.

Теперь можно воспользоваться свойством прямой, параллельной плоскости.

Так как плоскость проходит через прямую a1, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей c будет параллельна прямой a1, т.е.

Но плоскость проходит и через прямую b1, параллельную плоскости, поэтому.

Таким образом, через точку O1 проходят две прямые a1 и b1 , параллельные прямой c.

Но это невозможно, через O1 может проходить только одна прямая, параллельная с.

Предположив, что мы пришли к противоречию. Следовательно, .

Теорема доказана.

Задача 1. Три отрезка A1A2, B1B2 и C1C2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A1B1C1 и A2B2C2 параллельны.

Отрезки A1A2, B1B2 и C1C2 не лежат в одной плоскости

O - общая середина отрезков

Доказать: Плоскость A1B1C1 плоскости A2B2C2

В плоскости A1B1C1возьмем пересекающиеся отрезки A1B1 и A1C1 , а в плоскости A2B2C2 - отрезки A2B2 и A2C2. Докажем, что они соответственно параллельны.

Рассмотрим четырехугольник A1B1A2B2.

Так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Поэтому A1B1 A2B2

Аналогично из четырехугольника A1C1A2C2 получим, что A1C1 A2C2.

По признаку параллельности плоскостей,

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.